论数列题的一种较通用解法

前排提醒：本文魔怔浓度较高，请勿轻易模仿，考试做不完卷子别来找我

题意简述

已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1=2$，$S_{n+1}=4a_n+2$，问通项公式。

正解

要么是正解太智慧，要么是我降智，反正我半天没想出来。

首先很容易得到：

$$a_n=4(a_{n-1}-a_{n-2})$$

整理，得：

$$a_n-2a_{n-1}=2(a_{n-1}-2a_{n-2})$$

因此数列 $\{a_n-2a_{n-1}\}$ 是一个等比数列，于是有：

$$a_n-2a_{n-1}=2^n$$

两边同时除以 $2^n$，整理得：

$$\frac{a_n}{2^n}=\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}+1$$

于是有：

$$a_n=n\times 2^n$$

一种较通用解法

简述：不用把眼睛瞪得那么大的大眼观察法

既然要观察，那先列出前几项，具体列多少项看心情

$$\{2,8,24,64,160,384,896,2048\}$$

然后差分几次，或者做几次前缀和，看有没有明显的规律。举个例子，像这个数列：$\{1,4,10,20,35,56\}$，做一次差分变成：$\{1,3,6,10,15,21\}$，再做一次差分就变成了：$\{1,2,3,4,5,6\}$。于是 $a_n=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^i j$，然后再想办法把这个和式转成通项就行了。

但是这道题不管是前缀和还是差分都找不到规律，那我们只有继续大眼观察。

然后你定睛一看，敏锐地发现了数列里面有 $2,8,64,2048$ 这几个 $2$ 的幂次。但是它们的出现好像并没有什么明显的规律。

然后你再定睛一看，猛然发现了这个数列含二量很高，每个项都可以整除好几个 $2$，于是你决定质因数分解一下。

$$\{2,2^3,3\times 2^3,2^6,5\times 2^5,3\times 2^7,\cdots\}$$

这还看不出来？整理一下：

$$\{1\times2^1,2\times 2^2,3\times 2^3,4\times2^4,5\times 2^5,\cdots\}$$

于是就得到了：

$$a_n=n\times 2^n$$

一种更通用的解法

这道题的原题其实只要求 $a_{12}$。所以只需要徒手算 $12$ 项，也不是太多，半页草稿纸就够了（bushi