浅谈数列放缩

引子

数列放缩通常被用来求解数列与不等式结合的题。

简单来讲，数列放缩就是把数列的每一项稍微放大或缩小，从而转化为一个每一项都比原数列更大或更小的，更容易处理的数列。

此类题较为困难，常作为高中数学的压轴题出现。但有一部分的题可以无脑用数学归纳法证明，难度较低，我个人认为这类题的分应该拿到。其它的题比较吃积累，如果在平时多积累一些常见的放缩方法，应该可以大大提高考场上想出来的概率。下文会提出辨别方法。

不会数学归纳法没关系，看一道题就会了，非常简单（认真

裂项放缩

裂项放缩，即把不好直接求和的数列的每一项放缩成方便裂项的形式，从而得到一个可以裂项求和的数列。直接看例题可能会更明了。

例 1

典中典例题：请证明
$1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{5}{3} - \frac{2}{2 n + 1}$

裂项法解析

显然不等式左侧的数列不能直接求和，所以考虑放缩。如果我们把它的每一项都放大一点点，再证明放大后数列的和是小于不等式右边的，那原数列的和一定也小于右边。

$\frac1{n^2}$ $\frac14$ $\frac1{n^2-\frac14}$ ，于是就可以得到

\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n^{2} - \frac{1}{4}} = \frac{4}{(2 n + 1) (2 n - 1)} = 2 (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1})

于是就有

1 + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} \leq 1 + 2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \dots + \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1})

把右边化简一下就得到了

1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{5}{3} - \frac{2}{2 n + 1}

证毕。

数学归纳法解析

$n=1$ $n=k(k\geq 1)$ $n=k+1$ 时不等式也成立。这样一来就证明了不等式对于所有正整数都成立（感性理解一下为什么）。

$n=1$ $1$ ，不等式成立。

$n=k$ 时不等式成立，即

1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{k^{2}} \leq \frac{5}{3} - \frac{2}{2 k + 1}

$n=k+1$ 时，

1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{(k + 1)^{2}} \leq \frac{5}{3} - \frac{2}{2 k + 1} + \frac{1}{(k + 1)^{2}}

$\frac1{(k+1)^2}$ 。

$n=k+1$ 时不等式成立，只需要证明

\frac{5}{3} - \frac{2}{2 k + 1} + \frac{1}{(k + 1)^{2}} \leq \frac{5}{3} - \frac{2}{2 (k + 1) + 1}

把它化简一下，即证：

\frac{4}{4 (k + 1)^{2}} \leq \frac{4}{(2 k + 1) (2 k + 3)}

也就是证明：

(2 k + 2) (2 k + 2) \geq (2 k + 1) (2 k + 3)

$4\geq 3$ ，显然成立。

$n=k+1$ 时不等式成立。

综上所述，

1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{5}{3} - \frac{2}{2 n + 1}

$1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}\leq\frac5{3}$ $n$ 的，优先用数学归纳法证明，其它情况再尝试放缩法。但是平时练习尽量使用放缩法，不然就没有效果了。

例 2

再给一道例题，请证明
$\frac{1}{\sqrt[4]{1 \times 3}} + \frac{1}{\sqrt[4]{3 \times 5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt[4]{(2 n - 1) \times (2 n + 1)}} > \sqrt{2} (\sqrt{n + 1} - 1)$

裂项法证明

\frac{1}{\sqrt[4]{(2 n - 1) \times (2 n + 1)}} = \frac{1}{\sqrt[4]{4 n^{2} - 1}} > \frac{1}{\sqrt[4]{4 n^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{n}}

$2\sqrt{n}<\sqrt n+\sqrt{n+1}$ ，所以有

\frac{1}{\sqrt[4]{(2 n - 1) \times (2 n + 1)}} > \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{n}} > \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \sqrt{2} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})

因此

\frac{1}{\sqrt[4]{1 \times 3}} + \frac{1}{\sqrt[4]{3 \times 5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt[4]{(2 n - 1) \times (2 n + 1)}} > \sqrt{2} (\sqrt{n + 1} - 1)

归纳法证明

$n=1$ 时，不等式显然成立。

$n=k$ 时不等式成立，即

\frac{1}{\sqrt[4]{1 \times 3}} + \frac{1}{\sqrt[4]{3 \times 5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt[4]{(2 k - 1) \times (2 k + 1)}} > \sqrt{2} (\sqrt{k + 1} - 1)

$n=k+1$ 时，有

\frac{1}{\sqrt[4]{1 \times 3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt[4]{(2 k - 1) \times (2 k + 1)}} + \frac{1}{\sqrt[4]{(2 k + 1) \times (2 k + 3)}} > \sqrt{2} (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{1}{\sqrt[4]{(2 k + 1) \times (2 k + 3)}}

$n=k+1$ 时成立，只需证

\sqrt{2} (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{1}{\sqrt[4]{(2 k + 1) \times (2 k + 3)}} > \sqrt{2} (\sqrt{k + 2} - 1)

即证

\frac{1}{\sqrt[4]{(2 k + 1) \times (2 k + 3)}} > \sqrt{2} (\sqrt{k + 2} - \sqrt{k + 1})

也就是证

\sqrt[4]{(2 k + 1) \times (2 k + 3)} < \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{k + 2} + \sqrt{k + 1})

把右半边套一下均值不等式，可以得到

\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{k + 2} + \sqrt{k + 1}) \geq \sqrt[4]{(2 k + 4) \times (2 k + 2)}

$\sqrt[4]{(2k+4)\times(2k+2)}>\sqrt[4]{(2k+1)\times(2k+3)}$ $\sqrt[4]{(2k+1)\times(2k+3)}<\frac1{\sqrt2}(\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1})$ 。

$n=k+1$ 时，不等式成立。

证毕。

练习 1

$1+{\frac{1}{3^{2}}}+{\frac{1}{5^{2}}}+\cdots+{\frac{1}{\left(2n-1\right)^{2}}}>{\frac{7}{6}}-{\frac{1}{2\left(2n-1\right)}}(n\geq2)$
$2(\sqrt{n+1}-1)<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}<\sqrt{2}(\sqrt{2n+1}-1)$
$n,m\in\mathbb{N}_+,x>-1,S_m=1^m+2^m+3^m+\cdots+n^m$ $n^{m+1}<(m+1)S_m<(n+1)^{m+1}-1$
$a_n=4^n-2^n,\quad T_n=\frac{2^n}{a_1+a_2+\cdots+a_n}$ $T_1+T_2+T_3+\cdots+T_n<\frac{3}{2}$

不是我故意不给答案，是我真的懒得打了（

我记得前三题都可以用归纳法证明。

分式放缩

$\frac ba>\frac{b+m}{a+m}(b>a>0,m>0)$ $\frac ba<\frac{b+m}{a+m}(a>b>0,m>0)$ 两个不等式。

例 3

又一个典中典例题，证明：
$\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots 2 n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots \cdot (2 n - 1)} > \sqrt{2 n + 1}$

证明

$\frac ba>\frac{b+m}a(b>a>0,m>0)$ 可得：

\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{2 n}{2 n - 1} > \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \dots \frac{2 n + 1}{2 n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{2 n - 1}{2 n} \cdot (2 n + 1)

因此有：

(\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{2 n}{2 n - 1})^{2} > (\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{2 n}{2 n - 1}) \times [\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{2 n - 1}{2 n} \cdot (2 n + 1)] = 2 n + 1

两边一起开个方，就得到了

\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots 2 n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots \cdot (2 n - 1)} > \sqrt{2 n + 1}

这道题同样可以用归纳法证明，这里就不再赘述了。

例 4

证明：
$(1 + 1) (1 + \frac{1}{4}) (1 + \frac{1}{7}) \dots (1 + \frac{1}{3 n - 2}) > \sqrt[3]{3 n + 1}$

证明

运用两次次分式放缩。

$1+\frac1{3n-2}>1+\frac1{3n-1}>1+\frac1{3n}$ $\frac{3n-1}{3n-2}>\frac{3n}{3n-1}>\frac{3n+1}{3n}$ 。所以有：

\begin{aligned} \frac{2}{1} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{7} \dots \dots \frac{3 n - 1}{3 n - 2} & > \frac{3}{2} . \frac{6}{5} \cdot \frac{9}{8} \dots \dots \frac{3 n}{3 n - 1} \\ \frac{2}{1} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{7} \dots \dots \frac{3 n - 1}{3 n - 2} & > \frac{4}{3} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{10}{9} \dots \dots \frac{3 n + 1}{3 n} \end{aligned}

两式相乘，得

{(\frac{2}{1} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{7} \dots \dots \frac{3 n - 1}{3 n - 2})}^{2} > \frac{4}{2} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{10}{8} \dots \dots \frac{3 n + 1}{3 n - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{8} \dots \frac{3 n - 2}{3 n - 1} \cdot (3 n + 1)

故

{(\frac{2}{1} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{7} \dots \cdot \frac{3 n - 1}{3 n - 2})}^{3} > \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{8} \dots \cdot \frac{3 n - 2}{3 n - 1} \cdot (\frac{2}{1} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{7} \dots \dots \frac{3 n - 1}{3 n - 2}) (3 n + 1)

即

{(\frac{2}{1} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{7} \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{3 n - 1}{3 n - 2})}^{3} > (3 n + 1)

就证明了

(1 + 1) (1 + \frac{1}{4}) (1 + \frac{1}{7}) \dots (1 + \frac{1}{3 n - 2}) > \sqrt[3]{3 n + 1}

你没猜错，还是可以用归纳法证明。

分类放缩

也有叫并项放缩的。

例 5

证明
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{n} - 1} > \frac{n}{2}$

证明

$n\geq 2$ 时，有

\frac{1}{2^{n - 1} + 1} + \frac{1}{2^{n - 1} + 2} + \dots + \frac{1}{2^{n - 1} + 2^{n - 1}} > \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n}} + \dots + \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{n}} \times 2^{n - 1} = \frac{1}{2}

故

\begin{aligned} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{n} - 1} \\ > & 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{3}}) + \dots + (\frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n}} + \dots + \frac{1}{2^{n}}) - \frac{1}{2^{n}} \\ = & \frac{n}{2} + (1 - \frac{1}{2^{n}}) > \frac{n}{2} \end{aligned}

归仍可。

等比放缩

即把原数列放缩为一个等比数列。这是我瞎取的名字。

这类题型我校月考已经考过了，所以我只会列出关键步骤（懒

例 6

$A_n-k>B\cdot A^m$ 型。
$a_n=2^n-1$ $\frac n2-\frac12<\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots+\frac{a_n}{a_{n+1}}$

提示

\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n + 1} - 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n + 2} - 2}

因为，

2^{n + 2} - 2 > 3 \times 2^{n} (n \geq 1)

于是有

\frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n + 2} - 2} > \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{n}}

例 7

$A^n-B^{n-1}>\lambda \cdot A^{n-1}$ 型。
$a_n=4^n-3^{n-1},S_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}$ $\frac{1}{3}\leq S_n\leq\frac{4}{9}$

提示

因为

4^{n} - 3^{n - 1} > 3 \times 4^{n - 1} (n \geq 1)

于是有

\frac{1}{4^{n} - 3^{n - 1}} < \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4^{n - 1}}

二项式相关

因为学校的进度还没到二项式定理，所以就先只放这一道题了。

例 8

求证
${(1 + \frac{1}{n})}^{n} < 1 + 1 + \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \dots + \frac{1}{(n - 1) n} < 3$

证明

\begin{aligned} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} & = 1 + (\binom{n}{1}) \cdot \frac{1}{n} + (\binom{n}{2}) \cdot (\frac{1}{n})^{2} + \dots + (\binom{n}{n}) \cdot {(\frac{1}{n})}^{n} \\ = 1 + \frac{n}{1!} \cdot \frac{1}{n} + \frac{n (n - 1)}{2!} \cdot \frac{1}{n^{2}} + \dots + \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots 1}{n!} \cdot \frac{1}{n^{n}} \\ = 1 + 1 + \frac{1}{2!} (1 - \frac{1}{n}) + \dots + \frac{1}{n!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) \dots (1 - \frac{n - 1}{n}) \\ < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} \\ \leq 1 + 1 + \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \dots + \frac{1}{(n - 1) n} \\ < 1 + 1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} = 3 \cdot \frac{1}{n - 1} \leq 3 \end{aligned}

常见放缩技巧

这里总结了一部分放缩技巧。

\begin{aligned} (1) & \frac{2 n - 1}{2 n} < \frac{2 n}{2 n + 1}, \frac{2 n}{2 n - 1} > \frac{2 n + 1}{2 n}, \frac{1}{2^{n} + 1} < \frac{1}{2^{n}} \\ (2) & \frac{1}{n^{3}} < \frac{1}{n (n^{2} - 1)} = \frac{1}{2} [\frac{1}{n (n - 1)} - \frac{1}{n (n + 1)}] \\ (3) & \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n (n + 1)} < \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n (n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} (n \geq 2) \\ (4) & \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1}) (n \geq 2) \\ (5) & \frac{1}{n^{2}} = \frac{4}{4 n^{2}} < \frac{4}{4 n^{2} - 1} = 2 (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1}) \\ (6) & 2 (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) = \frac{2}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{2}{2 \sqrt{n}} < \frac{2}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} = 2 (\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}) \\ (7) & \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + . . . + \frac{1}{2 n} \geq \frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 n} + . . . + \frac{1}{2 n} = \frac{n}{2 n} = \frac{1}{2} \\ (8) & \sqrt{n (n + 1)} < \frac{n + n + 1}{2} = n + \frac{1}{2} \\ (9) & \sqrt{\frac{n}{n + 2}} = \sqrt{\frac{n}{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{n + 2}} < \frac{\frac{n}{n + 1} + \frac{n + 1}{n + 2}}{2} \\ (10) & \frac{\sqrt{i^{2} + 1} - \sqrt{j^{2} + 1}}{i - j} = \frac{i^{2} - j^{2}}{(i - j) (\sqrt{i^{2} + 1} + \sqrt{j^{2} + 1})} = \frac{i + j}{\sqrt{i^{2} + 1} + \sqrt{j^{2} + 1}} < 1 \end{aligned}